Una introducción a la teoría descriptiva de conjuntos

Una introducción a la teoría descriptiva de conjuntos se destaca por sus
conexiones con otras ramas de las matemáticas, especialmente el análisis
matemático. La teoría descriptiva de conjuntos puede definirse como
la teoría de los conjuntos definibles de números reales. La teoría clásica
se refiere a los subconjuntos de ℝ que se obtienen a partir de los conjuntos
abiertos a través de las operaciones de complementación, uniones
numerables y proyecciones. Esta fue la idea adoptada por Lebesgue al
iniciar un estudio de las funciones reales “definibles analíticamente” que
luego fue desarrollada por Suslin y Luzin.
El texto se inicia con una presentación de las propiedades básicas del espacio
de Baire, el espacio de todas las sucesiones de números naturales
con la topología producto, que es homeomorfo al conjunto de los números
irracionales con la topología heredada de ℝ. Continúa con un estudio
de los espacios polacos en general, de sus subconjuntos borelianos y
analíticos y de sus subconjuntos proyectivos. Se presta atención a algunos
problemas de uniformización y se presenta una demostración de que
todo conjunto coanalítico del plano contiene una función cuyo gráfico es
también coanalítico. Se muestran propiedades de medida y categoría de
los conjuntos analíticos. También son tratados el juego de Banach-Mazur
y su relación con propiedades de categoría y el teorema de Kuratowski-
Ulam para categoría.
El libro contiene una introducción a los grupos topológicos polacos y sus
acciones. Como apéndice, se incluye una breve introducción a los ordinales
y cardinales y una mención a algunos resultados de independencia en
teoría descriptiva de conjuntos. Esta obra puede ser usada en un curso
avanzado de pregrado o en un posgrado de matemáticas.